sábado, 25 de noviembre de 2017

¿Lenguaje sin lógica?


Si hay algo que los matemáticos aprendemos desde el inicio de nuestra formación es la diferencia entre un ejemplo, un lema, un contraejemplo y un teorema; especialmente aprendemos a diferenciar entre un caso particular y una generalización. También aprendemos muy temprano algunos métodos de demostración, entre los que aparecen siempre el de “reducción al absurdo” y el de “inducción”.
A veces es bueno usar ese conocimiento básico y examinar entonces, con criterio matemático, lo que se afirma en el lenguaje corriente, para detectar errores comunes que con frecuencia conducen a conclusiones falsas, desproporcionadas o absurdas, aparentemente muy bien sustentadas, pero que en realidad esconden engañosas demostraciones.
Los recientes sucesos que han empleado algunos para estigmatizar como “terroristas” a los estudiantes y egresados de la Universidad Nacional y demás universidades públicas, y como “corruptos” a los de las universidades privadas de élite, son un buen ejemplo de esas falsas conclusiones. Se trata de uno de los métodos preferidos, de aparente demostración por inducción: si se presenta un caso comprobado de un estudiante de universidad pública autor de un acto terrorista en 2015, de otro estudiante con el mismo delito en 2016 y un par más en 2017, se concluye que todos los estudiantes de universidades públicas son terroristas. Si hay un egresado de una universidad privada acusado de corrupción en 2014, dos más en 2015 y tres en 2017, la conclusión es que todos los egresados de universidades privadas son corruptos. Comúnmente se cree que la prueba es más contundente aún si se suma algún caso más antiguo conocido.
Recuerdo, como anécdota, que en la Universidad de Mainz (Alemania) el profesor de matemáticas Ernst Hölder sostenía una marcada rivalidad con algunos de sus colegas de física y no desperdiciaba oportunidad para hacer bromas sobre sus métodos y logros científicos. Era costumbre en la universidad hacer un acto especial de celebración para homenajear a los profesores cuando cumplían 60 años de edad. Tuve la oportunidad de asistir a la celebración del cumpleaños 60 del profesor Peter Paul Konder y recuerdo cómo el profesor Hölder, después del brindis, tomó la palabra y provocó risas entre los asistentes al decir: “El número 60 es muy importante en la vida de los matemáticos, pues es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6. Es decir que, como dirían mis colegas físicos, es divisible por todos los números”.
Pero más comunes que las falsas pruebas de tipo inductivo son las que usan frecuentemente algunos personajes que dominan una gran oratoria para demostrar que de una afirmación P se concluye otra Q, que es completamente falsa. Puesto que “P implica Q” es una proposición verdadera cuando P es falsa, independientemente del valor de verdad de Q (por ejemplo, es verdadera la proposición: “Si Colombia está en África entonces los caballos ponen huevos”), es usual que se parta de una afirmación falsa P y durante media hora se pronuncie un gran discurso en el que sólo se dicen cosas verdaderas, ojalá fácilmente comprobables, para concluir con una afirmación absurda Q, que al estar precedida de tan convincente discurso no despierta mayores dudas entre los oyentes de que se trata de una brillante y certera demostración de la verdad de Q, que además evidencia la elocuencia del orador (en la literatura reciente de las calumnias hay buenos ejemplos).
Frecuentemente encontramos también la generalización, no necesariamente con el interés de estigmatizar a partir de un ejemplo o de una pequeña muestra, como lo señalaba arriba, sino como costumbre de caracterizar grupos de personas con base en el conocimiento de una o de unas pocas personas de ese grupo. Igual si se trata de un país o de una región. Me refiero a sentencias como: “Todos los colombianos son narcotraficantes”, “a todos los costeños les gusta el vallenato”. Y qué decir de las generalizaciones para los grupos de profesionales o las culturas: “Todos los filósofos son aburridos”, “todos los mexicanos comen picante”, “todos los antioqueños son negociantes y todos los santandereanos son peleadores”. Combinada la generalización con una forma condicional puede afirmarse por ejemplo: “Todos los árabes huelen mal y los mejores ingenieros son árabes, entonces los mejores ingenieros huelen mal”.
Existe también la marcada tendencia a calificar a todos por una experiencia, casi siempre negativa. Si tuvimos un pésimo profesor de matemáticas, afirmamos que “todos los profesores de matemáticas son pésimos”. Si en Nueva York un taxista turco nos cobró más de lo indicado, entonces afirmamos que los turcos (todos) son “tumbadores”. Si en una oficina no nos contestaron el teléfono, aseguramos que “allá nunca contestan”. Pero peor aún es la tendencia a calificar a todos los habitantes de un país de acuerdo con sus gobernantes: “Todos los venezolanos son groseros e incultos” o “todos los gringos son ignorantes”.
No escapan a estas generalizaciones las que podemos clasificar entre las paradojas. Así, por ejemplo, el político que muy enfáticamente afirma que “todos los políticos son corruptos”. Esa es una buena paradoja, comparable a la antigua y famosa paradoja de Epiménides: “Todos los cretenses son mentirosos”. Como Epiménides era cretense, ¿es entonces verdadera la afirmación?
La mayoría de los profesionales necesitan de una buena capacidad argumentativa para desempeñar un trabajo. Y la lógica correctamente usada no necesariamente está en relación directa con la capacidad de oratoria, por eso creo que, tan importante como las clases de oratoria, son las asignaturas de lógica en todas las carreras profesionales.
Hace algunos años, mi colega Fernando Zalamea Traba ideó en la Universidad Nacional un exitoso curso que llamó “Lógica para Abogados”. Estoy seguro de que aun por fuera de un currículo formal este tipo de iniciativas despiertan el interés hasta en ilustres juristas que tendrán la satisfacción de conocer la formalidad de la lógica matemática básica que permite detectar con facilidad las engañosas y falsas demostraciones en el ejercicio profesional.
Por: Ignacio Mantilla
* Rector, Universidad Nacional de Colombia.

La paradoja del mentiroso


Entre nosotros hay una palabra de moda: “posverdad”. Este término ingresará en diciembre de este año al diccionario de la Real Academia Española como neologismo. Debería también aprovecharse para definir concretamente una nueva palabra que, de forma similar y desde hace algunos meses, de manera frecuente nos hace falta. Me refiero a la “posmentira”. Este otro neologismo haría referencia a todas las consecuencias que se derivan de las falsas noticias (también muy de moda), las acusaciones infundadas y los señalamientos sin sustento, que con especial dominio se trinan haciendo uso de muy pocos caracteres para calumniar sin reparo.
¿Qué recursos tenemos para desmentir? Sin lugar a dudas, la lógica es una de las más poderosas herramientas que pueden ser usadas para descubrir la mentira y, por lo tanto, también la verdad. Pero existe una categoría especial de expresiones que fácilmente conducen a contradicciones lógicas, que superan nuestro sentido común porque aparentemente son falsas y pueden ser verdaderas o de apariencia verdadera, o porque resultan falsas aun cuando son de apariencia verdadera. Expresiones que nos hacen cuestionar nuestras propias conclusiones cuando descubrimos que éstas son absurdas y que hemos llegado a ellas conducidos a partir de algunos pocos supuestos razonables. Estoy hablando de las paradojas.
No quiero entrar a profundizar en las diferentes categorías de paradojas, sólo quiero compartir con los lectores una muy famosa y simple, que para el tema resulta pertinente: se trata de la paradoja del mentiroso. Su origen es muy antiguo y se debe a Eubulides de Mileto, quien vivió en el siglo IV a.C. Su versión es: “Un hombre dice que está mintiendo”. ¿Es lo que él dice verdad o mentira? Veamos:
Si lo que dice es falso, entonces entramos en una contradicción, pues si él afirma que está mintiendo y lo que dice es falso, entonces no miente, así que dice la verdad. Contradice lo supuesto.
Si el hombre dice la verdad, entonces su afirmación es verdadera, pero él dice que está mintiendo, y como dice la verdad, la afirmación confirma que él miente, por lo tanto no dice la verdad, en contradicción con lo supuesto inicialmente.
Por consiguiente, ambas suposiciones conducen a contradicciones lógicas y no puede afirmarse que el hombre miente o dice la verdad.
Este ejemplo es similar a la conocida paradoja de Epiménides, quien afirmaba: “Todos los cretenses son mentirosos”. Aparentemente, eso no es ninguna paradoja, pero si tenemos en cuenta que Epiménides era cretense, aparece la paradoja, pues entonces debe estar mintiendo y entramos en contradicciones como las expuestas arriba.
En realidad, me divierto escuchando a un político cuando afirma que todos los políticos son mentirosos, porque me recuerda a Epiménides.
La paradoja del mentiroso tiene múltiples variantes que hábilmente se utilizan en los debates, pero que a veces no se alcanzan a identificar. Hace un tiempo escuché un debate en el Congreso en el que un senador X afirmó: “Presidente, lo que va a decir el senador Y es falso”. Cuando tomó la palabra el senador Y, dijo: “Presidente, lo que ha dicho el senador X es verdad”. Cada frase independiente no es una paradoja, pero juntas conforman un fascinante círculo paradójico. ¿Cuál senador miente?
Una muy bonita variante de la paradoja del mentiroso es la que se conoce como la tarjeta de Jourdain, formulada en 1913 por el matemático inglés Philip Jourdain. Este matemático concibió una tarjeta con un mensaje en cada cara de la tarjeta. En una cara decía: “La oración del otro lado de la tarjeta es verdadera”, y en la otra cara estaba escrito: “La oración del otro lado de la tarjeta es falsa”.
La paradoja de Pinocho es otra de las populares versiones y resulta muy aleccionadora. Si la nariz de Pinocho crece solamente cada vez que él miente, ¿qué pasa si Pinocho afirma: “Ahora me crecerá la nariz”? Veamos:
Si le crece la nariz, dijo la verdad, luego no debió crecer su nariz.
Si no le crece la nariz, Pinocho mintió, luego su nariz ha debido crecer.
Un ejemplo clásico es también el del libro en cuya nota final afirma: “Todo lo escrito en este libro es falso”. Como esta frase está incluida en el libro, forma entonces parte de él y aparece la paradoja nuevamente.
Pero la más simple de las formas de la paradoja del mentiroso es: “Esta oración es falsa”.
He encontrado algunas variantes de esta antigua paradoja revisando los trinos de ciertos personajes que sigo en Twitter. Algunos de ellos son irremediablemente mentirosos y calumniosos, pero al afirmar que son portadores de la verdad aparece la paradoja que los delata porque, aun cuando seguramente no tenían la intención de mentir, descuidan la lógica y el sentido común.
En todo caso, creo que la palabra posmentira, al igual que posverdad, debería también incluirse en el diccionario de la Real Academia Española para describir fácilmente este paradójico mundo actual de las falsas verdades.
Por: Ignacio Mantilla (Rector U. Nacional)

domingo, 8 de mayo de 2016

Premio Abel 2016: Andrew Wiles



“Andrew Wiles coronó una de las cumbres más deseadas de las matemáticas, por su relevancia histórica y por su importancia en el desarrollo de la disciplina”, destaca Antonio Córdoba, director del ICMAT
La Academia Noruega de Ciencias y Letras concede el Premio Abel 2016 a Andrew J. Wiles (Cambridge- Reino Unido, 1953), un matemático adscrito a la Universidad de Oxford, por su impresionante demostración al último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad para las curvas elipticas semiestables, iniciando una nueva era en la teoría de números.

El premio Abel es un galardón concedido por el Rey de Noruega a un matemático destacado.
El premio es en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel




lunes, 1 de junio de 2015

Los impuestos en la sociedad de un país...!



Todos los días 10 hombres se reúnen en un bar para charlar y beber cerveza. La cuenta total de los diez hombres es de 100€.

Acuerdan pagarla de la manera proporcional en que se pagan los impuestos en la sociedad de un país, con lo que la cosa sería más o menos así, según la escala de riqueza e ingresos de cada uno:

· Los primeros 4 hombres (los más pobres) no pagan nada.
· El 5º paga 1€.
· El 6º paga 3€.
· El 7º paga 7€.
· El 8º paga 12€.
· El 9º paga 18€.
· El 10º (el más rico) paga 59€.

A partir de entonces, todos se divertían y mantenían este acuerdo entre ellos, hasta que, un día, el dueño del bar les metió en un problema: “Ya que ustedes son tan buenos clientes,” les dijo, “ Les voy a reducir el costo de sus cervezas diarias en 20€. Los tragos desde ahora costarán 80€.”

El grupo, sin embargo, planteó seguir pagando la cuenta en la misma proporción que lo hacían antes.

Los cuatro primeros siguieron bebiendo gratis; la rebaja no les afectaba en absoluto.

¿Pero qué pasaba con los otros seis bebedores, los que realmente abonan la cuenta? ¿Cómo debían repartir los 20€ de rebaja de manera que cada uno recibiese una porción justa?

Calcularon que los 20€ divididos en 6 eran 3,33€, pero, si restaban eso de la porción de cada uno, entonces el 5º y 6º hombre estarían cobrando para beber, ya que el 5º pagaba antes 1€ y el 6º 3€. Entonces el barman sugirió una fórmula en función de la riqueza de cada uno, y procedió a calcular la cantidad que cada uno debería pagar.

· El 5º bebedor, lo mismo que los cuatro primeros, no pagaría nada: (100% de ahorro).
· El 6º pagaría ahora 2€ en lugar de 3€: (ahorro 33% )
· El 7º pagaría 5€ en lugar de 7€: (ahorro 28% ).
· El 8º pagaría 9€ en lugar de 12€: (ahorro 25% ).
· El 9º pagaría 14€ en lugar de 18€: (ahorro 22%).
· El 10º pagaría 49€ en lugar de 59€:(ahorro 16%).

Cada uno de los seis pagadores estaba ahora en una situación mejor que antes: los primeros cuatros bebedores seguían bebiendo gratis y el quinto también.

Pero, una vez fuera del bar, comenzaron a comparar lo que estaban ahorrando.

“Yo sólo recibí 1€ de los 20 ahorrados,” dijo el 6º hombre y señaló al 10º bebedor, diciendo “ Pero él recibió 9€”

“Sí, es correcto ,” dijo el 5º hombre. “ Yo también sólo ahorré 1€; es injusto que él reciba nueve veces más que yo.”

“Es verdad ”, exclamó el 7º hombre. “¿ Por qué recibe él 9€ de rebaja cuando yo recibo sólo 2€? ¡Los ricos siempre reciben los mayores beneficios!”

“¡Un momento !”, gritaron los cuatro primeros al mismo tiempo. “¡ Nosotros no hemos recibido nada de nada. El sistema explota a los pobres!”

Los nueve hombres rodearon al 10º y le dieron una paliza.

La noche siguiente el 10º hombre no acudió a beber, de modo que los nueve se sentaron y bebieron sus cervezas sin él. Pero a la hora de pagar la cuenta descubrieron algo inquietante: Entre todos ellos no juntaban el dinero para pagar ni siquiera LA MITAD de la cuenta.

Y así es, amigos y amigas, periodistas y profesores universitarios, gremialistas y asalariados, profesionales y gente de la calle, la manera en que funciona el sistema de impuestos. La gente que paga los impuestos más altos son los que se benefician más de una reducción de impuestos. Póngales impuestos muy altos, atáquenlos por ser ricos, y lo más probable es que no aparezcan nunca más. De hecho, es casi seguro que comenzarán a beber en algún bar en el extranjero donde la atmósfera es algo más amigable.

Moraleja: “ El problema con el socialismo es que uno termina quedándose sin el dinero de la otra gente”.

Y ya lo dijo Margaret Tatcher: "El socialismo fracasa cuando se les acaba el dinero... de los demás"

viernes, 27 de marzo de 2015

Un teorema es para siempre




Un teorema es para siempre.
Teorema: Proposición matemática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas.
Conjetura: Juicio u opinión formado a partir de indicios o datos incompletos o supuestos.

sábado, 7 de febrero de 2015

Nupcias Matemáticas ...!

NUPCIAS MATEMÁTICAS
La iglesia estaba adornada,
Con conjuntos y guarismos,
Allí estaba el logaritmo,
Y la pareja ordenada,
La potencia acompañada,
De un entero negativo,
El conector disyuntivo,
Junto con la derivada,
Y la expresión conjugada,
Con un valor relativo.
En el atrio estaba el novio,
Con los nervios fraccionados,
Muchas curvas había andado,
Lo controlaba el binomio,
Muy inquieto el polinomio,
Por la tardanza de su amada,
Era una raíz cuadrada,
Que conoció en la secante,
Se volvió su amor constante,
Y hoy al altar la llevaba.
El público reunido,
Comentaba la función,
Cuando grita la ecuación,
¡La novia hace el recorrido!,
El límite indefinido,
Saltaba con la tangente,
Aplaudía el exponente,
En este ambiente imaginario,
Fluía un gran amor binario,
Y ahora se hacía evidente.
La novia se ve a lo lejos,
Con dos rectas paralelas,
Su traje de hermosas telas,
Cubría su cuerpo complejo,
De ellas se veía el reflejo,
Era una regla de tres,
Los pajes, las potencias de diez,
Andaban en sucesión,
El templo era la conjunción,
Del capital y el interés.
Y se presenta la unión,
De dos seres intersecantes,
Sus senos y cosecantes,
Formaron una adición,
Después de la división,
Continúa la secuencia,
Son centro de la circunferencia,
Su límite es el altar,
Allí se van a integrar,
Su regla es la convergencia.
El cura era un radical,
Los padrinos los catetos,
Las hipotenusas en cuarteto,
Tocan la marcha nupcial,
En la función exponencial,
No había extraña solución,
Todo era una progresión,
Comienza el ceremonial,
Con una expresión factorial,
Muestra la novia su emoción.
Cuando ya iba a pronunciar,
Ella, el sí y solo si,
Pego un salto y vuelvo en mí,
El reloj empieza a timbrar,
Ya me debo levantar,
Para ir a mi labor,
Mis alumnos con fervor,
Esperan mis enseñanzas,
No toleran mi tardanza,
Pienso en el sueño de amor.
Autor: Jorge Eliécer Guevara Silva.

domingo, 31 de agosto de 2014

Matemática en frases...!

"La matemática convierte lo invisible en visible" _ Keith Devhin

"La matemática honra el espíritu humano" _ Leibniz

"La matemática no es una ciencia, sino la ciencia" _ Blavatscy

"Toda ecuación científica, que no se inicia con la matemática, es imperfecta en su base" _ A. Conte

"El mundo está cada vez más dominado por las matemáticas" A. F. Rambaud

"La matemática es la llave de oro que abre todas las  ciencias" _ Duruy

"Una ciencia natural es, tan sólo, una ciencia matemática" _ Kant

"La geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal" _ Poincare

"Las matemáticas son como el amor: una idea simple pero que puede complicarse"_ R. Drabek

"La matemática no es real, pero parece real ¿Dónde está ese lugar? "_ Feynman

"Matemática + ajedrez = teatro" _ F. Arrabal

"Las matemáticas no tienen tiempo" _ A. Verjovski