lunes, 23 de noviembre de 2020

¿Cómo entienden los estudiantes un problema matemático?

 

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

GRUPO DE INVESTIGACIÓN EDUCACIÓN MATEMÁTICA E HISTORIA (UdeA-EAFIT)

EDUMATH

Fortalecimiento del desarrollo profesional docente a través de colectivos de profesores de matemáticas

Unidad didáctica: ¿Cómo entienden los estudiantes un problema matemático? Enfoque didáctico: pensar la matemática antes de la teoría.

-          Identificación de los participantes:

Nombres

Javier  Andrade Romero[1]

-          Grado en que se desarrollará la unidad didáctica: 9º.

-          Tiempo de desarrollo de la unidad didáctica: 1 mes.

Objetivos de la unidad didáctica

a)    Comprender que la matemática es una actividad de resolución problemas que va más allá del aula para que el alumno enfrente situaciones problema en contexto.

b)    Reconocer qué es un problema matemático y cómo utilizar estrategias para solucionarlo, a través de representaciones de objetos, proposición de ideas, construcción de argumentos, uso de conceptos, discusiones y elaboración de modelos.

Materiales

Computador con internet, video beam, sonido, hojas bond, cartulinas, hojas milimetradas, mesas, reglas, cinta métrica

Pensamientos y procesos que se desarrollan con la unidad

Pensamientos principales asociados: Métrico – espacial.

 Procesos principales asociados: Resolución de problemas, comunicación.

Problemática

La experiencia da cuenta que los estudiantes normalmente están familiarizados con los típicos modelos de problemas, “La edad de Pedro...”, “Cuanto tiene Luis…”,  y otros de este estilo, que generalmente se proponen para ser resueltos bajo un esquema lineal rígido, que sigue pasos como:

1)    Leer y entender el enunciado

2)    Subrayar los datos y la pregunta

3)    Escoger la operación o formula

4)    Resolver

5)    Responder con respuesta completa

No tan  lejos de la clásica, y bien conocida, formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para resolver un problema: Comprender el problema, desarrollar un plan, llevar a cabo el plan y revisar.

En el marco de nuestra experiencia, hemos notado que lo que entienden los estudiantes por problema es, entonces, un tipo muy acotado de situación que solo existe en la clase de matemáticas y cuya solución depende de cuatro operaciones básicas… “Si sale la palabra más, juntar, agrupar, es suma”, “Con las palabras gastar, quitar, prestar, faltar, perder,…es resta”, “Si aparece la palabra veces es de multiplicación”, “Si es un problema difícil es de división”

El currículo escolar colombiano nos indica pautas para ir más allá: formular y resolver problemas, modelar procesos y fenómenos de la realidad, comunicar, razonar, formular, comparar, ejercitar procedimientos y algoritmos. Por ello nuestra propuesta se enmarca en este currículo y en nuevos procesos pedagógicos que apuntan a una nueva manera de ver la relación: docente-matemática-estudiante. Y tratar de romper con la visión general de una clase de matemáticas.

Marco teórico que sustenta la propuesta

Las situaciones problema como estrategia para la conceptualización matemática

Obando y Múnera (2003) mencionan que “una situación problema la podemos interpretar como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando procesos conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir, la acción la exploración, la sistematización, la confrontación el debate, la evaluación, la autoevaluación y la heteroevaluación.”

Lo importante es que la situación problema vincule de manera activa al estudiante en la elaboración teórica, haga del arte de conocer un proceso no acabado, permita utilizar aspectos contextuales como herramientas dinamizadoras de aprendizaje y relaciones las conceptualizaciones particulares con las formas universales socialmente construidas (Obando y Múnera, 2003, p. 186).

ACTIVANDO LA RESOLUCION DE PROBLEMAS EN EL AULA

¿Es lo que hace un matemático para resolver un problema lo mismo que hace un niño o niña en una clase de matemáticas para resolver un problema?

Hay una gran diferencia: un matemático elige el problema que va a abordar, estudiar, analizar, (…) mientras que un niño a niña en clase de matemáticas, tiene que resolver los problemas que le impongan, no puede elegir. Y hay una gran coincidencia: ambos experimentan LA INQUIETUD-ANSIEDAD-VERTIGO de no saber cómo resolverlo y LA SATISFACCION-ALEGRIA-GLORIA de alcanzar la solución. Estas secuencias de emociones forman parte de la matemática y la acumulación de experiencias positivas da fuerza, permiten aprender y fortalecer el ánimo de seguir adelante en la resolución de problemas (Felmer, 2015).

1.1.       Actividades propuestas

Actividad 1

a)    Hacer y recortar un cuadrado de 5cm X 5cm, ¿Cuál es el área de la figura?, ¿Cuál es su perímetro?

b)    Hacer y recortar un cuadrado de 10 cm X 10 cm; dentro de este, hacer una cuadricula 2cm X 2cm. ¿Cuántos cuadrados resultaron?, ¿Cuál es la dimensión de cada lado de los cuadrados?, ¿Cuál es el área de cada cuadrado?, ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado?

c)    Hacer y recortar un cuadrado de 15 cm X 15 cm, dentro de este hacer una cuadricula de 3cm x 3cm. ¿Cuántos cuadrados resultaron?

d)    El cuadrado 5 cm X 5 cm ¿Cuántas veces cabe en el cuadrado de 15 cm X 15 cm?

e)    El cuadrado 5 cm X 5 cm ¿Cuántas veces cabe en un cuadrado de 20 cm X 20 cm?

f)     El cuadrado 10 cm X 10 cm ¿Cuántas veces cabe en un cuadrado de 20cm X 20cm?

g)    Haga las gráficas de las cuadriculas en papel milimetrado. Compare sus respuestas en las gráficas.

Actividad 2

Resolución de problemas en acción

Una vez de realizados los trabajos de manipulación, gráficas y experimentación, damos paso a problemas con cierto contenido de abstracción, los cuales requieren mayor análisis.

a)    ¿Cuantos cuadrados hay?

Figura 1. Cuadrado 4cmx4cm

b)    Y ¿si el cuadrado es 5cmx5cm, 6cmx6cm,…?

c)    Si Manuela tiene una caja grande con tres cajas medianas dentro de ella, cuatro cajas chicas en cada una de las medianas y cinco todavía más pequeña en cada una de las chicas. ¿Cuántas cajas tiene Manuela en total?

d)    ¿Cómo se calcula el volumen de un cubo? ¿Cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo?

e)    Construya un rectángulo de 30 cm X 30 cm, 3 de 10 cm X 30 cm, 12 de 2,5 cm X 30 cm y 50 de 6 cm X 2,5 cm. ¿puede representar la situación problema del punto C?, ¿Le ayuda esto a resolver el punto C?

f)     Un papel Cuadrado se dobla por la mitad, y luego nuevamente por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuántas capaz de papel habrá si se dobla 6 veces?

g)    Realizar las potencias de 2 hasta la potencia 6. ¿Qué relación tiene con el punto anterior?

 

Actividad 3

Pensar la matemática antes de la teoría

Con esta actividad damos paso a problemas generales, que para el educando significan retos o desafíos y de esta forma ir cultivando en su mente la capacidad de pensar para que entienda y pueda resolver problemas.

a)    ¿Que figura se obtiene al juntar dos triángulos rectángulos isósceles?

b)    Si duplicamos las aristas de un cubo, ¿cuántas veces se expandirá su volumen?

c)    Si usted en su casa cuenta con 7,6 metros cúbicos de arena. ¿Cómo será de gruesa la capa de arena si se distribuye uniformemente en un foso que tiene 5 metros de largo y 3,8 metros de ancho?

d)    ¿Una gallina y media ponen un huevo y medio en un día y medio. ¿Cuántos huevos pone una gallina en un día?

e)    En un cajón de mi cuarto guardo todas mis medias sueltas en forma un poco desordenada. Tengo 24 medias blancas iguales y 11 medias negras iguales (si, una de mis medias perdió un par), cuando voy a trabajar por la mañana me levanto muy temprano y no quiero despertar a mi mama, así que no enciendo la luz y saco las medias a tientas. ¿Cuál es el número de medias que tengo que sacar para asegurarme que, al salir de la habitación, pueda armar un par de medias del mismo color?

f)     Sí en el cajón, a oscuras, hay 6 medias negras, 8 medias blancas, 12 medias rojas, 6 verdes y una media amarilla a lunares, ¿cuántas medias sería necesario sacar como mínimo ahora para poder armar un par?

g)    La profesora Casandra compra dulces para repartir entre sus alumnos con la idea de darle 2 dulces a cada uno (compra la cantidad justa para este propósito).  Sin embargo, sus alumnos varones se portan muy mal, así que en castigo decide darle solo un dulce a cada niño y 5 dulces a cada niña. ¿Qué parte del curso corresponde a alumnos varones?

Actividad 4

Con lo aprendido en la actividad 1 y la actividad 2 damos paso a la matemática en contexto.

Caso específico: Huerta escolar.

·         MATERIALES: Papel, lápiz, borrador, cinta métrica.

·         ACTIVIDAD: Ir a la huerta escolar para medir el área y el perímetro que ocupa cada cultivo.

·         APLICO LO APRENDIDO: 

a)    ¿Cuál es el área de cada cultivo?

b)    ¿Cuál es el perímetro de cada cultivo?

c)     Graficar la huerta con las medidas de cada cultivo.

d)    ¿Cuál es el área de la huerta?

e)    ¿Cuál es el perímetro de la huerta?

f)     ¿Qué figuras forman?

g)    ¿Con que figura cubrirá más área?

h)   ¿Con cuántos cuadrados de 50 cm X 50 cm puede usted llenar su huerta?


 

Actividad 5

Retomando las actividades anteriores y con el reconocimiento de las propiedades de algunas líneas y figuras representadas en las gráficas construidas, estudiaremos algunas aplicaciones del contexto cercano y también matemático, a través de la comprensión del teorema de Thales. Para familiarizarnos con el tema, consulta una breve biografía de Thales de Mileto y cómo descubrió el teorema, prepara una presentación corta para tus compañeros.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

                

 

                                             Aplicación del teorema de Thales en la vida real

Objetivo: Medir la altura de algunas estructuras aplicando el Teorema de Thales

Materiales: 1 metro, lápiz, regla, fotocopias

Procedimiento:

Con la ayuda de un metro, mide la sombra proyectada de un edificio, un muro o estructura, pide a un compañero que se ponga de pie justo donde termina la sombra de la edificación o estructura y toma la medida de la sombra proyectada de tu compañero al igual que la altura de tu compañero, apunta los datos en la siguiente tabla. Repite el procedimiento para calcular la altura 5 edificaciones o estructuras.

Tabla 1: Registro de datos activadas de sombras

Objeto

Medida de la sombrea proyectada

Altura del compañero

Razones y proporciones Teorema de Thales

Muro

 

 

 

Árbol

 

 

 

Edificio

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nota: realiza el ejercicio en un día soleado.

Análisis:

A.   Elabora un esquema o dibujo.

B.   Teniendo en cuenta el teorema de Thales calcula la altura de las edificaciones.

C.   ¿Coincide la altura encontrada con la altura real de la edificación u objeto?

D.   Es necesario que los objetos estén en paralelo, ¿por qué?

E.   ¿Cuándo dos triángulos son semejantes? explica y elabora un esquema.

1.2.       Evaluación de la unidad didáctica

 

a)    ¿Qué aprendió del desarrollo de la actividad 1, 2 y 3?

b)    ¿Qué es un problema matemático?

c)    ¿Los humanos siempre hemos resuelto problemas?

d)    ¿La resolución de problemas proporciona oportunidades para el desarrollo matemático de los jóvenes?

e)    ¿Qué es una situación problema?

f)     ¿Un problema le supone un desafío?

g)    La señora Juana tenía que preparar la comida, y necesitaba comprar 5 Kilos de papa en la tienda. Cada Kilo costaba $300. La Señora Juana pago con $5000. ¿Cuánto vuelto le dieron en la tienda?

h)   La señora Juana colecciona números naturales cuyo dígito de las unidades es la suma de los otros dígitos. Ej. 10023 ¿Cuál es el mayor número sin el dígito cero que puede aparecer en la colección?

i)     ¿En que se distinguen los problemas g y h? Depende ¿cierto?

j)      ¿Son desafiantes dependiendo de la edad de los niños?

k)    ¿Lo aprendido en el aula lo puede aplicar para solucionar problemas de la vida diaria?



[1] I.E. Antonio Roldan Betancur-Sede Buenavista, correo: andradejavier10@gmail.com

Hablemos de matemáticas (II)

HABLEMOS DE MATEMÁTICAS (PARTE II)

“Comprometernos con el mejoramiento de la comprensión de los conceptos matemáticos, en todos los niveles educativos, debe ser un compromiso de cada una de nosotros como docentes”

¿Qué temáticas vamos a focalizar?

-         Conocimiento de su enseñanza y aprendizaje

“Los profesores han aprendido que las matemáticas están en toda la naturaleza, en las demás ciencias, y en el contexto; pero aún no han aprendido a develarla”

-         Conocimiento disciplinar matemático

“En matemáticas está prohibido entender a medias”

-         Desarrollo profesional docente

“Las matemáticas te permiten reflexionar y posicionarte de manera crítica frente algunas demandas sociales que tus contextos te imponen”

 

Unidad didáctica (I)

 

¿COMO ESTAN ENTENDIENDO NUESTROS ESTUDIANTES LO QUE ES UN PROBLEMA MATEMATICO?

 

Objetivos

a)     Reconocer que la matemática es una actividad de resolución de problemas

b)    Comprender que es un problema matemático

 

Materiales ¿…?

Pensamientos y procesos que se desarrollan con la unidad

Pensamientos y procesos asociados: Métrico – espacial

Procesos principales asociados: Resolución de problemas, comunicación.

 

Problemática

Los estudiantes tienen dificultades es saber que es (y que no es) un problema matemático.

Durante años a través del profesor, su observación y la repetición solo tienen en su mente problemas tipo: “La edad de Pedro,…”, “Cuanto tiene Luis,…”, etc. Y propuestos para ser resueltos bajo un esquema rígido:

1)    Leer y entender el enunciado

2)    Subrayar los datos y la pregunta

3)    Escoger la operación o formula

4)    Resolver

5)    Responder con respuesta completa

Lo que entienden los estudiantes por problema es, entonces, un tipo muy acotado de situación que solo existe en la clase de matemática y cuya solución depende de cuatro operaciones básicas:

“Si sale la palabra más, juntar, agrupar,… es suma

“Con las palabras gastar, quitar, prestar, faltar, perder,… es resta

“Si aparece la palabra veces” es de multiplicación

“Si es un problema difícil” es de división.

Marco teórico

EpC, enseñanza para la comprensión

“Comprender es la habilidad de pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que uno sabe”

“La comprensión incumbe a la capacidad de hacer con un tópico una variedad de cosas que estimulan el pensamiento, tales como explicar, demostrar y dar ejemplos, generalizar, establecer analogías y presentar el tópico de una nueva manera”

 

CURRICULO ESCOLAR COLOMBIANO

Procesos generales

1)    Formular y resolver problemas ***

2)    Modelar procesos y fenómenos de la vida real ***

3)    Comunicar

4)    Razonar

5)    Formular, comparar y ejercitar procesos y algoritmos

 

¿Por qué preocuparse por la resolución de problemas?

-Porque está el centro de la matemática

-Porque da oportunidades de desarrollo

-Y… porque los humanos siempre hemos resuelto problemas, es decir que solo debemos activar.

¿Qué hace un matemático?

Un matemático es una persona con un amplio conocimiento en matemáticas que utiliza este conocimiento en su trabajo, por lo general para resolver problemas matemáticos.

¿Qué hace un matemático para resolver un problema?

-El matemático tiene INTERES en resolver el problema y CREE que posee la capacidad para abordarlo.

-El matemático concibe una estrategia que él CREE que puede ejecutar y que podría llevarlo a la solución del problema.

-El matemático posee los conocimientos y habilidades que le permiten llevar a cabo, es decir, ejecutar la estrategia hasta un cierto grado avanzado.

-Cuando encuentra la solución, el matemático es capaz de explicar cómo resolvió el problema, de comprobar de distintas manera que la solución cumple con lo pedido, es capaz de explicar casos particulares, consecuencias,…

-Cuando el matemático resolvió el problema, él exhibe una comprensión del problema en su integridad.

 

Pero…

¿No es lo que hace un matemático para resolver un problema lo mismo que hace un niño o niña en clase de matemáticas para resolver problemas?

 

¡HAY UNA GRAN DIFERENCIA!

-El matemático elige el problema

-El niño o niña, en clase de matemática, tiene que resolver los problemas que le ponen…no puede elegir.

 

¡HAY UNA GRAN COINCIDENCIA!

Los matemáticos así como los niños y niñas de cualquier nivel escolar disfrutan cuando pueden resolver un problema.

Ambos se frustran cuando no pueden resolver el problema, los aburre el problema, pierde el interés, se sienten incapaces,…

 

 

 

¿Qué es un problema?

“Es una actividad matemática para la cual la persona que la enfrenta no conoce un proceso que lo conduzca a la solución, esta tiene un interés en resolverlo, le supone un desafío y siente que lo puede resolver. Un problema puede estar planteado en un contexto matemático o no”

 

He aquí un problema:

La señora Josefa tenía que preparar la comida, y necesitaba comprar 5Kl de papa en una tienda. Cada kilo costaba $300. La Señora Josefa pago con $5.000.

¿Cuánto vuelto le dieron en la tienda?

 

He aquí otro:

La señora Juanita colecciona números N cuyo dígito de la unidad es la suma de los otros dígitos. Ejemplo, ella colecciono 10023, pues

1+0+0+2 =3. En la colección de Juanita hay un número que tiene cuatro dígitos y cuyo digito de la unidad es uno. ¿Cuál es el número?

 

¿En que se distinguen los problemas?

 

¿Cuál de los dos problemas se ajusta a la definición?

 

… depende ¿Cierto?

 

Son desafiantes dependiendo la edad de los niños.

… y dentro de la clase dependiendo de la habilidad de cada uno.

 

RETO

Es necesario que los profesores experimenten la resolución de problemas.

1)    Antes de ayer, Carlos tenía 15 años. El año que viene, tendrá 18 años. ¿Cómo es posible?

2)    “Un pueblo tiene dos plazas: A y B; el perímetro de la plaza A es mayor que el perímetro de la plaza B; ¿Cuál de las dos plazas tiene el área mayor?

 

¡Soluciones!

Pero...

¿Qué es una solución?

¿Puede haber más de una?

¿Puede haber ninguna?

 

 

Hay que experimentar LA INQUIETUD-ANSIEDAD-VERTIGO de no saber cómo resolverlo y LA SATISFACCION-ALEGRIA-GLORIA de alcanzar la solución.

Estas secuencias de EMOCIONES forman parte de la matemática y la acumulación de experiencias positivas da fuerza, permiten aprender y fortalecer el ánimo para seguir adelante.

Es necesario aprender a llevar una actividad de resolución de problemas en el aula.

 

 

Es importante aprender a:

-Organizar los estudiantes

-Entregar el problema

-Interactuar con los estudiantes que no comprendan el problema, están trancados, han cometido un error y sienten que han resuelto el problema.

-Cerrar con una plenaria

 

“La asignatura de matemáticas es tan importante que no habría que desaprovechar ninguna ocasión para hacerla más entretenida” Blaise Pascal (1623-1662)

 

 

Actividades Propuestas ¿…?

Evaluación de la unidad

Referencia bibliográfica

 

 

CRITERIOS

 

Calidad pedagógica: generar estrategias pedagógicas

Profesionalismo: estar en continuo aprendizaje

1)    INCLUSION: Diferencias grupales, socioeconómicas, culturales, genero, etnias. Diferencias inherentes del sujeto: capacidad, habilidades, interés, motivación, concepción del mundo.

2)    CONOCIMIENTO: Dimensión disciplinar y didáctica (flexibilizar)

3)    VISION: convicción y creencia sobre la naturaleza del tema que enseña.

 

“La matemática cobra vida en la cotidianidad”, “Es una disciplina fascinante, dinámica y creativa”, “Veo en los números el lenguaje de la imaginación”, “Quiero que las futuras generaciones no hereden el miedo a las matemáticas”

 

4)    METODO: reflexivo (plantear soluciones, llevar a la práctica, evaluación critica); sistemático (seguimiento y registro de sus acciones; proponer preguntas: ¿Qué hace?, ¿Por qué lo hace? ¿Cómo lo hace?, ¿Cómo lo evalúa?

5)    INTERACCION CON EL ENTORNO: reconocer que la educación va más allá del aula. Aspectos: a) Comunitario, b) Institucionales (Vinculación al PEI), c) Académico (conciencia de estar en permanente estudio, exponer en diferentes escenarios la propuesta.

 

 

¡MUCHAS GRACIAS!