Para complacer a Arquímedes:
Los postulados de Peano (G. Peano, 1858 - 1829); un punto de apoyo
Estos postulados son proposiciones que se aceptan como verdaderas y que no se demuestran en los límites de la ciencias matemáticas, utiliza los siguientes términos primitivos (No se definen).
"Cero", "Número" y "Sucesor" (siguiente).
Los postulados de Peano (G. Peano, 1858 - 1829); un punto de apoyo
Estos postulados son proposiciones que se aceptan como verdaderas y que no se demuestran en los límites de la ciencias matemáticas, utiliza los siguientes términos primitivos (No se definen).
"Cero", "Número" y "Sucesor" (siguiente).
- P1 0 es un número.
- P2 El sucesor de un número es siempre un número.
- P3 Dos números nunca tienen el mismo sucesor.
- P4 0 no es el sucesor de número alguno.
- P5 Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de n también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.
El último postulado entraña el principio de inducción matemática e
ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención.
Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los
diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0' ), el sucesor
del sucesor de cero( 0 ), y así hasta el infinito.
Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición
de un número natural a otro dado puede considerérsela como la suma
repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio
de la relación de sucesor:
(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'
Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la
puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que
expresa de manera rigurosa que el producto nk de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:
(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n
Con esta definición es posible demostrar las conocidad leyes generales que rigen la adición y la multiplicación: Leyes conmutativas, asociativas y distributivas.
En términos de "+" y "-" pueden definirse las operaciones inversas de sustracción y división.
Números naturales, conjunto más natural de números
4 - 6 = ?
2/3 = ?
Todo lo anterior sugiere la apliación del sistema, se introducen los Z negativos y Q (Racionales). Pero los racionales no sirven para expresar raices del tipo raíz cuadrada de dos, raiz cuadrada de cinco, etc., estos números que reciben el nombre de números irracionales, junto con el conjunto Q de los números racionales constituyen el conjunto R de los números reales.
Esta nueva ampliación del campo númerico permite efectuar cualquier medida, pero sin embargo no permite hallar raíces pares de números negativos, así, por ejemplo, no existe ningún número real que represente raíz cuadrada de -1, raiz cuadrada de -4., estas raíces reciben el nombre de imaginarias. La raíz cuadrada de -1, recibe el nombre de unidad imaginaria y se acostumbra a representar con la letra "i". Nace el conjunto de los números más complejos de todos, el conjunto C. En el recorrido desde los naturales hasta los complejos aparecen las respectivas operaciones, propiedades y situaciones reales en la que dichos números aparecen.
De aquí parte todo, N, Z, Q, R, C, luego sobre la base así obtenida pueden definirse las distintas operaciones aritmeticas y algebraicas para los números del sistema, se introducen los conceptos de función, límite, derivada e integral y pueden demostrarse los conocidos teoremas relativos a esos conceptos.
por otra parte la geometría desarrollá el pensamiento espacial, la trigonometria será una de las llaves para habrá la puerta y entre al fascinante mundo de lo natural y las estadisticas las gafas para ver mejor la realidad. Todo lo anterior relacionado con los estándares para la excelencia es la educación para el área de las matemáticas debe arrojar resultados significativos y satisfacctorios.
(Continua, Parte V)
